代数随笔

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1. Vedic Math

The ancient Chinese method is guessing the factorized cofficients :
X Y Z
1 -3 2
1 4 -5

Below column X:
(1x)(1x)= 1x²
Below Y :
(-3y)(4y)=-12y²
Below Z:
(2z)(-5z)=-10z²
Check XY :
(1x4y)+ (-3y1x)=1 xy
Check YZ:
(2z4y)+(-3y)(-5z)= 23yz
Check XZ:
(-5z1x)+(2z1x)= -3xz

Answer
= (x-3y+2z)(x+4y-5z)

中学代数：增减辗转相除法
to find the remainder of f(x) when x= u

If f(u)=0,
then x=u is a root of f(x)
or
(x-u) a factor of f(x).

In Abstract Algebra (Ring Theory since Polynomial has Ring structure behaves exactly like Integers),
we note f(x)/(x-u)
where
(x-u) is the IDEAL of f(x).

Theory:
f(x)=p(x).(x-u)+r(x) …(1)
At x= u, (x-u)=0
f(u)= r(u)
r(u) being the remainder.

If r(u)=0,
from (1):
f(u)=p(u).(x-u)
then (x-u) is a factor (IDEAL) , or
x=u is a root of f(x).

Algebraic Geometry is a study of all IDEALS of the polynomials f(x). Like study D24/猫山/黑刺 durians, just enough by analysing their kernel (核)。

Note: Idéal in “Ring” is similar to Kernel in “Group”.
They are both the “essence” (aka “DNA”) of the structure Ring or Group, respectively.

闪小说：华罗庚的数学书

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1977 我在法国大一Math Supérieur [*]， 有一天 Prof Brignold 在课台上讲课，走下来经过我桌旁， 好奇为什么 我的Abstract Math 很blurred， 但Applied Math 刚打败全班 ：57 个法国学生 & 2个 Singaporeans (全failed）。

他好奇 地 问Chinois (Chinese)如何用中文学数学，还在用 算盘 做数学吗 ？
RI “沈”同学 “骄傲”地 说新加坡 用英文，不用落后的“中文”. Prof 却不“感冒” 英文，只想看我的华文数学书。
隔天我就带来三本 中文数学书： 一本华罗庚的《数论》，2本是 Russian数学书 （中文翻译）。
他高兴的好像看到宝贝，在学校走廊到处show 给其他法国Profs 看。

年底最后一晚的 口试（Colle）, 他给我一题目Topology 做，很快的在他的提示下 我做完。他给我不错的分数，又从书包拿出我在年头借给他的三本中文书，书皮已皱， 可见有多次翻阅过。
他说： 你们的数学很applied ， 只是“mal- appris avec les anglais ”（英国人教坏你们数学）😆 你回去告诉其他2个Singaporeans, 我今天已经开会，决定promote 你们三人进Math Spéciale [*] 二年级.
我连走带跑地赶回去宿舍，马上通知Ong and Sing, 他们兴奋得一晚没睡 !!!
我们比其他57个法国同学 早知道 “升级”了
（有5位法国人：2男3女，failed， 踢出Prépa 精英班， 转校去普通大学 à la faculté ）。

难怪Prof Brignold看到 华罗庚的书，爱不释手，借去整整一年。这是华罗庚用20年时间（1940s 开始）在抗战的中国西南联大 和在1960s美国大学教书时写的精华lectures。虽然Prof Brignold 看不懂中文， 但翻开书中的数学符号公式， 他是内行数学家(École Normale Supérieure)一看就知道是当时70年代 刚出炉的“宝“。

华罗庚是世界第一数论宗师 Cambridge Prof Hardy的博士研究生, 专攻数论。André Weil (Bourbaki, France), Paul Erdös (Hungarian) 大师都佩服华罗庚。

Note [*]: 法国工程精英预备班 (Classe Préparatoire)

大一是Math Supérieure (外号 “1/2”)
大二是 Math Speciale (“3/2”)
留班生重读大二 叫 (“5/2”).

Galois (Group Theory 鼻祖), Macron 总统， 都曾留班 是 “5/2”.

为何叫 “1/2”, “3/2”… , 因为 拿破仑 举办的 科举Concours 目的是 考进(integrate ) 全国最好 的 X (Ecole Polytechnique).

Calculus: integration X

\boxed{\int_{0}^{1}xdx = 1/2}

\boxed{\int_{1}^{2}xdx = 3/2}

\boxed{\int_{2}^{3}xdx = 5/2}

鱼饭

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新加坡 鱼饭，快 绝迹了。

我还记得 最后一次 1976年 和 阿公吃 午餐 “鱼饭”， 9月秋天我就飞去 法国读书6-7年，再也看不到他。

我们在 他 Arab Street 店的 后巷一个街边潮州糜摊，买一条清蒸白鲳， 价钱蛮贵的(现在也是, 生的一 Kg 卖 S$ 20+）。他不舍得吃，全让给我， 自己吃白糜， 青菜。我夹一块鱼肉给他， 他又放回我的碗里， 说：“你爱吃鱼饭， 吃多一点， 以后法国吃不到。”
阿公不爱讲话。 19岁从金门被父母推上船 独身来新加坡求生，当码头运输“苦力”，超重的扛米包 使他的背畸形的驼。那一代人 经过 英国殖民，日治，建国独立的日子，养家生活苦，他变得有点木纳。我一直和他用金门福建话聊天，他笑笑听着，但很少回话。

到法国第二年，有一晚梦到阿公好像来跟我道别。一个星期后，家里来信说阿公永远走了，爸爸说我的学业重要， 所以没叫我回来。

我之所以很怀念鱼糜，每当吃到鱼饭， 一番滋味就湧上在心头 😩。

https://vt.tiktok.com/ZSdRbmUs4/

涂鸦

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Slide Rule

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[闪小说] 计算尺 @ 1978

(1)
卡兹教授的鹰勾鼻子, 横扫过寂静的课室。今天化学测验, 听说是他得意的杀手锏。前几日他提醒同学们, 化学方程式要对, 否则全卷皆错 — 因为上一题的答案决定下一题的解答。环环相扣, 计算要快, 准, 考计算尺的功夫, 不能用计算机。比较法国同学精致昂贵的计算尺, 我这把中国’天津’制造的, 显得格外寒酸。
试卷分到, 大家像跑道起点的田径好手, 随着教授如同枪声般’开始’的口令, 一头栽进化学反应里。
看着密密麻麻的法文化学名词, 用刚”泡”了一年的基楚法文来读, 比土生土长的法国佬同学, 理解慢了好几拍。
10大题2小时答。我脊梁猛抽了一股寒气。窗外厚厚的白雪, 加添这’刑场’的凄凉。 心想要逃出去, 穿白袍的卡兹教授守着门口, 像只狩猎的白秃鹰, 两眼冷漠, 眈眈(\dān dān)然注视着。

(2)
我用5分钟把试卷从头到尾研究, 不管旁边法佬同学已动手, 正㗭㗭唰唰地爬着横行法文。我手里的计算尺, 下意识的放在鼻孔边嗅 — 这把中四高数第一名的奖品, 终于在异邦有用武之地。
我列出化学方程式。卡兹教授既然暗示问题不简单, 内必有乾坤。仔细平衡两边的电子数目, 果然看出机关。 料那些大意的同学, 一失足于此, 全盘皆输, 下面9题是白做了– 好残忍的卡兹教授!

躲过了这关, 信心大增, 有个好胜的意念, 要向看不起外国人的卡兹教授示威。接下来的计算, 连求e幂方 (exponential), 也难不倒我这把’小家碧玉’的计算尺。过5关斩6将, 却卡在第7题。复杂的微积分函数 (integrate function), 缠着后腿不让前进。天啊! 还剩20分钟, 难道就败于此? 冷汗湿透了微抖的双手。狗急跳墙, 绕过这题, 迎战第8题。还好! 它接下来独立于第7的证明题。’暗渡陈仓’, 大功告成! 刚用红笔框起最后一题答案, 骇人的铃声响起。课室哗然, 哀声遍野…卡兹教授的鹰勾鼻得意地朝着满脸惊吓的学生摇摆。我浑身虚脱, 脑袋空白, 披起寒袍, 赶紧走出校园, 消失在深冬的白雪里。

(3)
化学试验室里, 弗朗苏爱絲(Françoise)一边帮我搅着試管里的化学液体, 一边偷瞧卡兹教授的神情。只见他边改着上星期的卷子, 边沽喱沽喱着, 然后把改卷’砰’的丢在桌旁。 弗朗苏爱絲 轻甩右手五指 (法式”不妙”的手语, 像”烧烫”), 耸肩表示’这回惨了’。我低头专心做试验, 与世无争。突然,卡兹教授狠狠的朝我和弗朗苏爱絲这边看, 用夹着西南方腔的法语说: “你乱涂乱画 , 不整洁。奇怪! 答案全对, 准确到小数点2位!” 弗朗苏爱絲惊羡的看着我, 提醒是教授在讲我。

(4)
卡兹教授一进课室, 把书包往讲台摔。 他铁黑着脸, 大骂我们数学不精, 尤其是计算方面。然后他分发改好了的卷子, 只抽出首两卷。先走到我桌前, 递给我, 轻声说:”13.5/20, 第一名, 以后要写整洁点”, 然后递给法国人的’X’高材生 皮尔 (Pierre) : “6/20, 第二名”。 其他的人不及格。全班60人几乎全军覆没！ 他意兴阑珊, 叫 ‘Z’ 班长代他继续分卷。

(5)
班级任数学課布尼诺教授紧张了。不用猜, 准是卡兹教授告的状, 说我们数学不精, 害死了化学。布尼诺教授獅子吼般的喊声 “Mon Dieu !” (老天啊 !), 叫醒同学们要加倍努力, 恢复法兰西18/19世纪数学王国的光辉。
不知谁悄悄把我的计算尺在班里传递下去欣赏。布尼诺教授发觉, 笑骂道: “不是他的’中国计算尺’好, 是他的’数学应用’强! (Mathématiques Appliqués ) “
布尼诺教授对这间’费马’ (FERMAT) 大学178年来首批华人学生, 开始另眼相看。

– [全文完]

© 9/11/2007 初稿写于 云顶度假山 (吉隆坡)
[29/5/2018 卫塞节 图文修改于’美奂’楼 (新加坡)]

[註]

1. 法国分数是 20 满分。等级如下:
A : 17 – 20 分
B : 13 – 16 分
C : 10 – 12 分
D : 7 – 9 分
E : 3 – 6 分
F : 0 – 2 分

2. 计算尺

3. 法国200年来有”数学传统” 的 工科大学 (Classe Préparatoire aux Grandes Écoles) 第一年 叫 “1/2”, 第二年 叫 “3/2”, 留级 第三年 是 “5/2“。文科大学 第一年 叫 “平方” (kharré ), 第二年 叫 “立方” (khûbe), 留级第三年是 “超立方” (hyper–khûbe)。

法国总统Macron因情所困(爱上大他27岁的女老师 – 今日的太太), 无心读书, 留班做过 hyper–khûbe 。抽象数学 鼻祖 Évariste Galois 和 法国Fields Medalist René Thom (Chaos Theory)都曾经是 “5/2″。

班长叫 “Z” (Le Z , prononcer “grand zed”, est le chef de classe. C’est l’initiale de Zident, forme réduite de Président. “Z” 来自 “Zident” – 总统 “Président” 的匿称)。”X” 是 拿波伦 建的法国第一间工程大学兼炮兵军校 École Polytechnique 的外号, 校徽有两把枪炮交叉如”X”。其教师和学生中出了许多18/19世纪的大科学家和数学宗师: Cauchy, Fourier, Lagrange, Charles Hermite, Poincaré, Louisville, Ampère, …16岁的 数学天才 Évariste Galois 连续2年入学考试不进。

Mobile Apps’ 2 Camps: Android Kotlin vs iOS Swift

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Math Online Tom Circle

Today mobile apps world is divided into 2 camps:

  • The original Apple iOS camp with 2000s ObjectiveC (improved version Swift from 2015), and
  • The Google Android with 1997 Java “JVM” (improved version Kotlin from 18 May 2017).

Both improved languages (Swift & Kotlin) use Functional Programming features eg. “Type” = Category Math, Data immutability (can’t change at run-time for safe concurrency), execution by composition of “componentised” Functions, including ‘advanced’ aka ‘higher-order’ functions eg reduce, map, filter, etc… which are Category-Math Functors, ‘Monoids’ and its cousin ‘Monads’ for handling side-effects (printl, update database, error msg…).

From 2018 we see these 2 mobile camps unifying into 1 language independent of vendors like the Fortran/Cobol in early 1970s, but which one ? may be one of the “Grand-Fathers” of the “Pure” Functional Programming Haskell (1993) would be adopted by an independent consortium ala W3C Consortium (WWW).

https://dev.to/sciencesoft/kotlin-vs-swift-are-android-and-ios-moving-towards-creating-a-universal-language?from=timeline

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Shifting Paradigm

Functional programming, Java Leave a comment

Object- Oriented:
1. Started from  Simula 67 (created in 1967),  only went mainstream in 1983 by C++.
2. Java created in 1997 but too slow and memory – hungry for high-performance applications, only flourishes in 2000s after hardware improvement.
    

Functional Programming: 1958  Lisp, mainstream now in Clojure, Scala, Haskell…

Other major languages add-on “FP” :
1. Groovy : memoization : ability of the runtime to cache function return values automatically),
2. Java 8 : Lambda blocks ie. higher-order functions.
3. JavaScript: numerous functional features,
4. C++: lambda blocks in 2011 standard, including Boost.Phoenix library

Complect: to join by weaving and twining together : Interweave. (Rich Hickey 《Simple Made Easy》)

Michael Feathers , author of 《Working With Legacy Codes》 in Twitter:

“OO makes code understandable by encapsulating moving parts,
FP makes code understandable by minimizing moving parts. ”

“Moving Parts” are: variables scoping, visibility, mutable state.
OO controls them, FP eliminates them by Immutability data.

Clojure ‘s Selling Point : removes concurrency concern from developers just as Java JVM removes garbage collection concern (by automating it).